1. Lịch sử
2. Định nghĩa
Cho E là một không gian vectơ trên trường F. Một chuẩn trên E là một hàm \left \|. \right \|:E \rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi x,y \in E, \lambda \in F
(N_1) \left \|x \right \| \geq 0,\left \|x \right \|=0 \Leftrightarrow x=0
(N_2) \left \|\lambda x \right \|=\left|\lambda\right|\left \|x \right \|
(N_3) \left \|x+y \right \| \leq \left \|x \right \|+\left \|y \right \|
3. Một số ví dụ về chuẩn
\bullet Không gian \mathbb{R}^{n}. Xét không gian tuyến tính \mathbb{R}^{n}.Với mọi x=(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb{R}^{n} ta định nghĩa
\left \|x \right \|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_i \right|^p\right)^\frac{1}{p}, là một chuẩn với p không nhỏ hơn 1. và được gọi là chuẩn l_p^n.
\bullet Không gian C[a,b]. (https://www.youtube.com/watch?v=lChYgNGFZUU&t=129s)
C[a,b]=\left\{f :[a,b] \rightarrow F:f \text{ liên tục trên } [a,b]\right\} Với mọi f,g \in C[a.b] \text{ và mọi }\alpha \in F ta định nghĩa
(f+g)(t)=f(t)+g(t), (\alpha f)(t)=\alpha f(t), \text{với mọi } t \in [a,b]
Thế thì có f+g,\alpha f \in C[a,b]
Ta nói f=g \text{ nếu } f(t)=g(t) \forall t \in [a,b]
Ta kiểm tra C[a,b] có là không gian tuyến tính hay không
Chú ý: việc kiểm tra các tiên đề là đơn giản tuy nhiên nó không tầm thường rất dễ hiểu nhầm.
Với mọi f,g,k \in C[a.b] \text{ và mọi }\alpha ,\beta \in F
Kiểm tra tiên đề 1: (f+g)(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}f(t)+g(t)\overset{\underset{\mathrm{2}}{}}{=}g(t)+f(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}(g+f)(t), \forall t \in [a,b]
(dấu bằng thứ nhất là do định nghĩa của C[a,b], dấu bằng thứ hai là do định nghĩa của trường.
Suy ra f+g=g+f.
Kiểm tra tiên đề 2: f(t)+(g+k)(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}f(t)+g(t)+k(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}(f+g)(t)+k(t)
Suy ra [f+(g+k)](t)=[(f+g)+k](t) hay f+(g+k)=(f+g)+k
Kiểm tra tiên đề 3: Xét hàm g(t)=0,\forall t \in [a,b],g \in C[a,b]
(f+g)(t)=f(t)+g(t)=g(t)+f(t)=f(t)
Suy ra f+g=g+f=f
Kiểm tra tiên đề 4: Xét hàm k(t)=0,\forall t \in [a,b],g(t)=-f(t),\forall t\in [a,b],g,k \in C[a,b]
(chú ý: giả sử hàm f liên tục trên [a,b] ta cần chứng minh g liên tục trên [a,b],có thể gọi trực tiếp hàm -f thay vì gọi hàm g=-f)
(f+g)(t)=f(t)+g(t)=f(t)+(-f(t))=0=k(t)
Suy ra f+g=f+(-f)=k (hàm k gọi là hàm đồng nhất không)
Kiểm tra tiên đề 5: [(\alpha \beta)f](t)=(\alpha \beta)f(t)=\alpha(\beta f(t))=\alpha(\beta f)(t)=[\alpha(\beta f)](t)
Suy ra (\alpha \beta)f=\alpha(\beta f)
Kiểm tra tiên đề 6: [(\alpha+\beta)f](t)=(\alpha+\beta)f(t)=\alpha f(t)+\beta f(t)=(\alpha f)(t)+(\beta f)(t)=(\alpha f+\beta f)(t)
Suy ra (\alpha+\beta)f=(\alpha f+\beta f)
Kiểm tra tiên đề 7: [\alpha (f+g)](t)=\alpha (f+g)(t)=\alpha [f(t)+g(t)]=\alpha f(t)+\alpha g(t)=(\alpha f)(t)+(\alpha g)(t)=(\alpha f+\alpha g)(t)
Suy ra \alpha (f+g)=\alpha f+\alpha g
Kiểm tra tiên đề 8: (1.f)(t)=1.f(t)=f(t)
Suy ra 1.f=f (chú ý phần tử đơn vị của trường các số thì là số 1, còn các trường khác có thể không phải là số 1)
Vậy C[a,b] là một không gian tuyến tính trên trường F.
Ta định nghĩa \left \| f \right \|_p=\left ( \int_{a}^{b}\left | f(t) \right|^p dt \right )^{\frac{1}{p}},p \geq 1. Là một chuẩn.
Với p=1, \left \| f \right \|_1= \int_{a}^{b}\left | f(t) \right| dt
Kiểm tra (N_1): Ta có -\left | f(t) \right | \leq f(t) \leq \left | f(t) \right |, \forall t \in [a,b],f \in C[a,b]
Suy ra \int_{a}^{b}-\left | f(t) \right |dt \leq \int_{a}^{b}f(t)dt \leq \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt
Hay -\int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt \leq \int_{a}^{b}f(t)dt \leq \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt
Vì \left |a \right| \leq b \Leftrightarrow -b\leq a \leq b. Nên \left|\int_{a}^{b}f(t)dt \right| \leq \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt
Suy ra \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt \geq 0,\forall t \in[a,b] Hay \left \| f \right \|_1 \geq 0
(\Leftarrow ) giả sử f(t)=0,\forall t \in [a,b]. Khi đó \left \| f \right \|_1= \int_{a}^{b}\left | f(t) \right| dt = \int_{a}^{b}\left | 0 \right| dt =0 \int_{a}^{b}1dt =0(b-a)=0
(\Rightarrow ) giả sử \left \| f \right \|_1=0. Ta chia [a,b] thành n khoảng x_0 \equiv a < x_1<...<x_n\equiv b
đặt \Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,...,n), trong mỗi khoảng nhỏ [x_{i-1},x_i] lấy một điểm t_i tùy ý: x_{i-1} \leq t_i \leq x_i,i=1,...,n. Khi đó \left \| f \right \|_1=\int_{a}^{b}\left | f(t) \right| dt=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\left | f(t_i) \right |\Delta x_i=\lim_{n\rightarrow \infty }0=0
Suy ra \sum_{i=1}^{n}\left | f(t_i) \right |\Delta x_i=0. Mà \Delta x_i > 0, do đó \sum_{i=1}^{n}\left | f(t_i) \right| \Delta x_i=0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} \left| f(t_i) \right| =0\Leftrightarrow f(t_i)=0 (t_i \in [a,b],\forall i=1,...,n)
Do vậy \left \| f \right \|_1 = 0 \Leftrightarrow f=0
Kiểm tra (N_2): \left \| \alpha f \right \|_1=\int_{a}^{b}\left|(\alpha f)(t)\right|dt=\int_{a}^{b}\left|\alpha f(t)\right|dt=\left|\alpha\right|\int_{a}^{b}\left|f(t)\right|dt=\left|\alpha\right| \left \| f \right \|_1
Kiểm tra (N_3): \left \| f+g \right \|_1=\int_{a}^{b}\left | (f+g)(t) \right |dt=\int_{a}^{b}\left | f(t)+g(t) \right |dt \leq \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt+\int_{a}^{b}\left | g(t) \right |dt (theo bất đẳng thức Minkowski dưới dạng tích phân)
Với p=2,\left \| f \right \|_2=\sqrt{\int_{a}^{b}\left | f(t) \right |^2dt}
Kiểm tra tương tự trường hợp p=1
Với p\rightarrow \infty đặt t_i = argsup_{t \in [a,b]} \left |f(t)\right|,(t_i \text{ là chỉ số để f(t) là cận trên tức là }f(t_i) \text{ là cận trên )}. Khi đó \left \| f \right \|_p =\left( \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |^p dt \right)^\frac{1}{p}=\left ( \lim_{n\rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{n} \left | f(t_i) \right |^p \Delta x_i \right )^\frac{1}{p}= \left | f(t_i) \right |\left [ \left ( 1+\left | \frac{f(t_1)}{f(t_i)} \right |^p +...+ \left | \frac{f(t_n)}{f(t_i)}\right |^p+... \right )\Delta x_i \right ]^\frac{1}{p}
Ta thấy \lim_{p\rightarrow \infty}\left [ \left ( 1+\left | \frac{f(t_1)}{f(t_i)} \right |^p +...+ \left | \frac{f(t_n)}{f(t_i)}\right |^p+... \right )\Delta x_i \right ]^\frac{1}{p}=1
\left \| f \right \|_\infty = \left|f(t_i)\right |=sup_{t \in [a,b]}\left|f(t)\right |
(N_1),(N_2) kiểm tra tương tự,
\bullet Các không gian dãy bị chặn c_o,l_{\infty},l_p(p\geq 1). Ta ký hiệu \mathbb{K}^\mathbb{N} là tập hợp tất cả dãy số thực hay phức. (https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence_space#c,_c0_and_c00)
c_o = \left\{ (x_1,x_2,...) \in \mathbb{K}^\mathbb{N} : \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=0 \right\}. (tập hợp các dãy số hội tụ tới không)
l_\infty=\left\{(x_1,x_2,...) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}: sup_n \left| x_n \right| < \infty \right\}.
l_p = \left\{ (x_1,x_2,...) \in \mathbb{K}^\mathbb{N} : \lim_{n\rightarrow \infty}x_n < \infty \right\}.
Với x = (x_1,x_2,...),y = (y_1,y_2,...) \in c_o (hoặc l_\infty, l_p) và \alpha \in F ta định nghĩa x+y = (x_1+y_1,x_2+y_2,...) và \alpha x=(\alpha x_1,\alpha x_2,...).
Từ định nghĩa ta thấy ngay nếu x,y \in c_o (hoặc l_\infty) và \alpha \in F thì x+y \in c_o (hoặc l_\infty). Dễ ràng nhưng không tầm thường, kiểm tra được với 2 phép toán này c_o và l_\infty là các không gian tuyến tính.
Nếu x,y \in l_p và \alpha \in F thì rõ ràng \alpha x \in l_p. Với mọi n \in \mathbb{N} ta có
\left|x_n+y_n \right| \leq \left|x_n \right|+\left|y_n\right| \leq 2 max \left\{ \left|x_n \right|,\left|y_n\right| \right\}.
Cho nên
\left|x_n+y_n \right|^p \leq 2^p [max \{ |x_n|,|y_n|\}]^p \leq 2^p(|x_n|^p+|y_n|^p).
Vì vậy
\sum_{n=1}^\infty|x_n+y_n|^p \leq 2^p (\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p + \sum_{n=1}^\infty |y_n|^p) <\infty .
Tức là x+y \in l_p. Với hai phép toán trên, dễ kiểm tra l_p là một không gian tuyến tính.
Dễ ràng kiểm tra c_o,l_{\infty},l_p(p\geq 1). là các không gian định chuẩn. c_o,l_{\infty} có chuẩn là \|x\|=sup_n |x_n|. l_p,p \geq 1 có chuẩn là \|x\|=(\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p)^\frac{1}{p}.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét