KHÔNG GIAN BANACH

1. Lịch sử (Banach space)

Không gian Banach được đặt theo tên nhà toán học người  Ba Lan Stefan Banach. Ông cùng với  Hans Hahn và Eduard Helly nghiên cứu và đưa ra khái niệm năm 1920-1922, không gian Banach được phát triển từ nghiên cứu về không gian Hàm của Hilbert, Fréchet và Riesz. Không gian Banach là một trong những đối tượng trung tâm của nghiên cứu về giải tích hàm. 

2. Định nghĩa 

Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ (đầy đủ tức là mọi dãy cauchy đều hội tụ)

3. Ví dụ

$\bullet$ các không gian $l_p^n$ là không gian Banach.($l_p^n$ là ký hiệu không gian $\mathbb{R}^n$)

Chứng minh. Giả sử $\{x_n\},x_n=(x_1^{(n)},...,x_n^{(n)})$ là một dãy Cauchy trong $l_p^n$ khi đó

$\forall \varepsilon > 0, \exists n_o \in \mathbb{N},\forall m,n \in \mathbb{N},m,n>n_o$ ta có $\left\|x_n-x_m \right\|< \varepsilon (1) $ 

Vì chuẩn trong không gian $l_p^n$ là tương đương nên ta chỉ xét chuẩn "sup" cho đơn giản

Trong $l_p^n$ ta chọn chuẩn $ \left \| x \right \|_p=sup_{i=1,...,n}(|x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|)$

từ (1) suy ra $|x_i^{(n)}-x_i^{(m)}| < \varepsilon,\forall i=1,...,n.$ 

tức là $\lim_{n\rightarrow \infty} x_i^{(n)}=x_i^{(m)},\forall i=1,...,n.$

điều này tương đương với $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x_m.$

tức là dãy Cauchy ${x_n}$ hội tụ tới $x_m$