1. Lịch sử
Năm 1906 Maurice Fréchet giới thiệu về không gian mêtric trong cuốn Sur quelques points du calcul fonctionnel
2. Định nghĩa
Không gian mêtric ký hiệu là (M,d) trong đó M là một tập hợp và d là một mêtric trên M, tức là một hàm
$d:M\times M\rightarrow\mathbb{R}$
sao cho với mọi $x,y,z\in M$ thỏa mãn:
1. $d(x,y) \geq 0$
2. $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$
3. Một số mêtric thường dùng
cho $x=(x_1,x_2,...,x_n),y=(y_1,y_2,...,y_n)\in \mathbb{R}^{n}$
ta định nghĩa $d_p(x,y)=(\sum_{i=1}^{n}(\left|x_i-y_i \right|)^p)^\frac{1}{p}$
Với $p=1$ chúng ta có $d_1(x,y)=\left|x_1-y_1\right|+....+\left|x_n-y_n\right|$
khi đó $d_1(x,y)=\left|x_1-y_1\right|+....+\left|x_n-y_n\right|$ là một mêtric vì thỏa mãn 4 điều kiện của mêtric và còn gọi là mêtric Taxicab
với mọi $x,y,z \in \mathbb{R}^n$
kiểm tra điều kiện 1, $\left|x_1-y_1\right|+....+\left|x_n-y_n\right| \geq 0$ (theo định nghĩa trị tuyệt đối)
$\Leftrightarrow d_1(x,y) \geq 0$
kiểm tra điều kiện 2, $d_1(x,y)=0$
$\Leftrightarrow \left|x_1-y_1\right|+....+\left|x_n-y_n\right| = 0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\left|x_1-y_1\right|=0\\ \vdots \\ \left|x_n-y_n\right|=0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1=y_1\\ \vdots \\x_n=y_n \end{cases} $
$\Leftrightarrow x=y $
kiểm tra điều kiện 3, $d_1(x,y)=\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-y_i \right|=\sum_{i=1}^{n}\left|-(x_i-y_i \right)|=\sum_{i=1}^{n}\left|y_i-x_i \right|=d_1(y_i,x_i)$
kiểm tra điều kiện 4, $d_1(x,z)=\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-z_i \right|=\sum_{i=1}^{n}\left|x_i-y_i+y_i-z_i \right| \leq \sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i \right|+ \sum_{i=1}^{n} \left|y_i-z_i \right|$
$\Leftrightarrow d_1(x,z) \leq d_1(x,y)+d_1(y,z)$
Với $p=2$ chúng ta có $d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i \right|^2}$
khi đó $d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i \right|^2}$ là một mêtric vì thỏa mãn 4 điều kiện của mêtric và được gọi là mêtric Euclidean hay khoảng cách Euclidean.
với mọi $x,y,z \in \mathbb{R}^n$
kiểm tra điều kiện 1, $\left|x_i-y_i \right|^2 \geq 0,\forall x_i,y_y \in \mathbb{R},i=1,...,n$
$\Leftrightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i \right|^2} \geq 0$
kiểm tra điều kiện 2, $d_2(x,y)=0$
$\Leftrightarrow\sqrt{\sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i \right|^2}=0$
$\Leftrightarrow \sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i \right|^2=0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\left|x_1-y_1\right|^2=0\\ \vdots \\ \left|x_n-y_n\right|^2=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1=y_1\\ \vdots \\ x_n=y_n \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=y$
kiểm tra điều kiện 3, $d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i \right|^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left|-(x_i-y_i)\right|^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left|y_i-x_i \right|^2}=d_2(y,x)$
kiểm tra điều kiện 4, $\sqrt{\sum_{i=1}^n \left|x_i-z_i \right|^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i+y_i-z_i \right|^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n \left|x_i-y_i \right|^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^n \left|y_i-z_i \right|^2}$ (áp dụng bất đẳng thức Minkowski)
Với $p \rightarrow \infty$, giả sử $i=arg max_{j=1,...,n} \left|x_j-y_j \right|$. Khi đó:
$d_p(x,y)=\left| x_i-y_i \right|\left(1+\left|\frac{x_1-y_1}{x_i-y_i} \right|^p+...+\left|\frac{x_{i-1}-y_{i-1}}{x_i-y_i} \right|^p+\left|\frac{x_{i+1}-y_{i+1}}{x_i-y_i} \right|^p+...+\left|\frac{x_n-y_n}{x_i-y_i} \right|^p\right)^{\frac{1}{p}}$
Ta thấy $\lim_{p \rightarrow \infty}\left(1+\left|\frac{x_1-y_1}{x_i-y_i} \right|^p+...+\left|\frac{x_{i-1}-y_{i-1}}{x_i-y_i} \right|^p+\left|\frac{x_{i+1}-y_{i+1}}{x_i-y_i} \right|^p+...+\left|\frac{x_n-y_n}{x_i-y_i} \right|^p\right)=1$
Nên $d_{\infty}(x,y)=\lim_{p \rightarrow \infty}d_p(x,y)=\left| x_i-y_i \right|=max_{j=1,...,n}\left| x_j-y_j\right|$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét