1. Lịch sử
2. Định nghĩa
Cho $E$ là một không gian vectơ trên trường $F$. Một chuẩn trên $E$ là một hàm $\left \|. \right \|:E \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi $x,y \in E, \lambda \in F$
$(N_1)$ $\left \|x \right \| \geq 0,\left \|x \right \|=0 \Leftrightarrow x=0$
$(N_2)$ $\left \|\lambda x \right \|=\left|\lambda\right|\left \|x \right \|$
$(N_3)$ $\left \|x+y \right \| \leq \left \|x \right \|+\left \|y \right \|$
3. Một số ví dụ về chuẩn
$\bullet $ Không gian $\mathbb{R}^{n}$. Xét không gian tuyến tính $\mathbb{R}^{n}.$Với mọi $x=(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb{R}^{n}$ ta định nghĩa
$\left \|x \right \|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_i \right|^p\right)^\frac{1}{p}$, là một chuẩn với p không nhỏ hơn 1. và được gọi là chuẩn $l_p^n.$
$C[a,b]=\left\{f :[a,b] \rightarrow F:f \text{ liên tục trên } [a,b]\right\}$ Với mọi $f,g \in C[a.b] \text{ và mọi }\alpha \in F$ ta định nghĩa
$(f+g)(t)=f(t)+g(t), (\alpha f)(t)=\alpha f(t), \text{với mọi } t \in [a,b]$
Thế thì có $f+g,\alpha f \in C[a,b]$
Ta nói $f=g \text{ nếu } f(t)=g(t) \forall t \in [a,b]$
Ta kiểm tra $C[a,b]$ có là không gian tuyến tính hay không
Chú ý: việc kiểm tra các tiên đề là đơn giản tuy nhiên nó không tầm thường rất dễ hiểu nhầm.
Với mọi $f,g,k \in C[a.b] \text{ và mọi }\alpha ,\beta \in F$
Kiểm tra tiên đề 1: $(f+g)(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}f(t)+g(t)\overset{\underset{\mathrm{2}}{}}{=}g(t)+f(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}(g+f)(t), \forall t \in [a,b]$
(dấu bằng thứ nhất là do định nghĩa của C[a,b], dấu bằng thứ hai là do định nghĩa của trường.
Suy ra $f+g=g+f$.
Kiểm tra tiên đề 2: $f(t)+(g+k)(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}f(t)+g(t)+k(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}(f+g)(t)+k(t)$
Suy ra $[f+(g+k)](t)=[(f+g)+k](t)$ hay $f+(g+k)=(f+g)+k$
Kiểm tra tiên đề 3: Xét hàm $g(t)=0,\forall t \in [a,b],g \in C[a,b]$
$(f+g)(t)=f(t)+g(t)=g(t)+f(t)=f(t)$
Suy ra $f+g=g+f=f$
Kiểm tra tiên đề 4: Xét hàm $k(t)=0,\forall t \in [a,b],g(t)=-f(t),\forall t\in [a,b],g,k \in C[a,b]$
(chú ý: giả sử hàm f liên tục trên [a,b] ta cần chứng minh g liên tục trên [a,b],có thể gọi trực tiếp hàm -f thay vì gọi hàm $g=-f$)
$(f+g)(t)=f(t)+g(t)=f(t)+(-f(t))=0=k(t)$
Suy ra $f+g=f+(-f)=k$ (hàm k gọi là hàm đồng nhất không)
Kiểm tra tiên đề 5: $[(\alpha \beta)f](t)=(\alpha \beta)f(t)=\alpha(\beta f(t))=\alpha(\beta f)(t)=[\alpha(\beta f)](t)$
Suy ra $(\alpha \beta)f=\alpha(\beta f)$
Kiểm tra tiên đề 6: $[(\alpha+\beta)f](t)=(\alpha+\beta)f(t)=\alpha f(t)+\beta f(t)=(\alpha f)(t)+(\beta f)(t)=(\alpha f+\beta f)(t)$
Suy ra $(\alpha+\beta)f=(\alpha f+\beta f)$
Kiểm tra tiên đề 7: $[\alpha (f+g)](t)=\alpha (f+g)(t)=\alpha [f(t)+g(t)]=\alpha f(t)+\alpha g(t)=(\alpha f)(t)+(\alpha g)(t)=(\alpha f+\alpha g)(t)$
Suy ra $\alpha (f+g)=\alpha f+\alpha g$
Kiểm tra tiên đề 8: $(1.f)(t)=1.f(t)=f(t)$
Suy ra $1.f=f$ (chú ý phần tử đơn vị của trường các số thì là số 1, còn các trường khác có thể không phải là số 1)
Vậy $C[a,b]$ là một không gian tuyến tính trên trường F.
Ta định nghĩa $\left \| f \right \|_p=\left ( \int_{a}^{b}\left | f(t) \right|^p dt \right )^{\frac{1}{p}},p \geq 1$. Là một chuẩn.
Với $p=1, \left \| f \right \|_1= \int_{a}^{b}\left | f(t) \right| dt $
Kiểm tra $(N_1)$: Ta có $-\left | f(t) \right | \leq f(t) \leq \left | f(t) \right |, \forall t \in [a,b],f \in C[a,b]$
Suy ra $\int_{a}^{b}-\left | f(t) \right |dt \leq \int_{a}^{b}f(t)dt \leq \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt$
Hay $-\int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt \leq \int_{a}^{b}f(t)dt \leq \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt$
Vì $\left |a \right| \leq b \Leftrightarrow -b\leq a \leq b.$ Nên $\left|\int_{a}^{b}f(t)dt \right| \leq \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt$
Suy ra $\int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt \geq 0,\forall t \in[a,b]$ Hay $\left \| f \right \|_1 \geq 0$
$(\Leftarrow )$ giả sử $f(t)=0,\forall t \in [a,b]$. Khi đó $\left \| f \right \|_1= \int_{a}^{b}\left | f(t) \right| dt = \int_{a}^{b}\left | 0 \right| dt =0 \int_{a}^{b}1dt =0(b-a)=0 $
$(\Rightarrow )$ giả sử $\left \| f \right \|_1=0$. Ta chia $[a,b]$ thành n khoảng $ x_0 \equiv a < x_1<...<x_n\equiv b$
đặt $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,...,n)$, trong mỗi khoảng nhỏ $[x_{i-1},x_i]$ lấy một điểm $t_i$ tùy ý: $x_{i-1} \leq t_i \leq x_i,i=1,...,n$. Khi đó $\left \| f \right \|_1=\int_{a}^{b}\left | f(t) \right| dt=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\left | f(t_i) \right |\Delta x_i=\lim_{n\rightarrow \infty }0=0$
Suy ra $\sum_{i=1}^{n}\left | f(t_i) \right |\Delta x_i=0$. Mà $\Delta x_i > 0,$ do đó $\sum_{i=1}^{n}\left | f(t_i) \right| \Delta x_i=0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} \left| f(t_i) \right| =0\Leftrightarrow f(t_i)=0 (t_i \in [a,b],\forall i=1,...,n)$
Do vậy $\left \| f \right \|_1 = 0 \Leftrightarrow f=0 $
Kiểm tra $(N_2)$: $\left \| \alpha f \right \|_1=\int_{a}^{b}\left|(\alpha f)(t)\right|dt=\int_{a}^{b}\left|\alpha f(t)\right|dt=\left|\alpha\right|\int_{a}^{b}\left|f(t)\right|dt=\left|\alpha\right| \left \| f \right \|_1$
Kiểm tra $(N_3)$: $\left \| f+g \right \|_1=\int_{a}^{b}\left | (f+g)(t) \right |dt=\int_{a}^{b}\left | f(t)+g(t) \right |dt \leq \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |dt+\int_{a}^{b}\left | g(t) \right |dt$ (theo bất đẳng thức Minkowski dưới dạng tích phân)
Với $p=2,\left \| f \right \|_2=\sqrt{\int_{a}^{b}\left | f(t) \right |^2dt}$
Kiểm tra tương tự trường hợp $p=1$
Với $p\rightarrow \infty$ đặt $t_i = argsup_{t \in [a,b]} \left |f(t)\right|,(t_i \text{ là chỉ số để f(t) là cận trên tức là }f(t_i) \text{ là cận trên )}. $ Khi đó $\left \| f \right \|_p =\left( \int_{a}^{b}\left | f(t) \right |^p dt \right)^\frac{1}{p}=\left ( \lim_{n\rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{n} \left | f(t_i) \right |^p \Delta x_i \right )^\frac{1}{p}= \left | f(t_i) \right |\left [ \left ( 1+\left | \frac{f(t_1)}{f(t_i)} \right |^p +...+ \left | \frac{f(t_n)}{f(t_i)}\right |^p+... \right )\Delta x_i \right ]^\frac{1}{p}$
Ta thấy $\lim_{p\rightarrow \infty}\left [ \left ( 1+\left | \frac{f(t_1)}{f(t_i)} \right |^p +...+ \left | \frac{f(t_n)}{f(t_i)}\right |^p+... \right )\Delta x_i \right ]^\frac{1}{p}=1$
$\left \| f \right \|_\infty = \left|f(t_i)\right |=sup_{t \in [a,b]}\left|f(t)\right |$
$(N_1),(N_2)$ kiểm tra tương tự,
$c_o = \left\{ (x_1,x_2,...) \in \mathbb{K}^\mathbb{N} : \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=0 \right\}.$ (tập hợp các dãy số hội tụ tới không)
$l_\infty=\left\{(x_1,x_2,...) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}: sup_n \left| x_n \right| < \infty \right\}.$
$l_p = \left\{ (x_1,x_2,...) \in \mathbb{K}^\mathbb{N} : \lim_{n\rightarrow \infty}x_n < \infty \right\}.$
Với $x = (x_1,x_2,...),y = (y_1,y_2,...) \in c_o$ (hoặc $l_\infty, l_p$) và $\alpha \in F$ ta định nghĩa $x+y = (x_1+y_1,x_2+y_2,...)$ và $\alpha x=(\alpha x_1,\alpha x_2,...).$
Từ định nghĩa ta thấy ngay nếu $x,y \in c_o$ (hoặc $l_\infty$) và $\alpha \in F$ thì $x+y \in c_o$ (hoặc $l_\infty$). Dễ ràng nhưng không tầm thường, kiểm tra được với 2 phép toán này $c_o$ và $l_\infty$ là các không gian tuyến tính.
Nếu $x,y \in l_p$ và $\alpha \in F$ thì rõ ràng $\alpha x \in l_p.$ Với mọi $n \in \mathbb{N}$ ta có
$\left|x_n+y_n \right| \leq \left|x_n \right|+\left|y_n\right| \leq 2 max \left\{ \left|x_n \right|,\left|y_n\right| \right\}.$
Cho nên
$\left|x_n+y_n \right|^p \leq 2^p [max \{ |x_n|,|y_n|\}]^p \leq 2^p(|x_n|^p+|y_n|^p).$
Vì vậy
$\sum_{n=1}^\infty|x_n+y_n|^p \leq 2^p (\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p + \sum_{n=1}^\infty |y_n|^p) <\infty .$
Tức là $x+y \in l_p.$ Với hai phép toán trên, dễ kiểm tra $l_p$ là một không gian tuyến tính.
Dễ ràng kiểm tra $c_o,l_{\infty},l_p(p\geq 1).$ là các không gian định chuẩn. $c_o,l_{\infty}$ có chuẩn là $\|x\|=sup_n |x_n|$. $l_p,p \geq 1$ có chuẩn là $\|x\|=(\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p)^\frac{1}{p}.$
4. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
